从“统一数学”中得到的启发
哥德尔（Kurt Gödel, 1906 - 1978）最终使希尔伯特（David Hilbert, 1862 - 1943）将数学大厦建立在一个统一的、完备的、相容的逻辑和公理基础上的理想彻底破灭了，但这并不意味着数学大厦的逻辑基础是不相容的，而且许多数学家坚持认为数学的逻辑基础是相容的。一个强有力的证据是，数学大厦并没有倒塌。不仅如此，数学大厦本身似乎呈现出一种相互的联系。这种联系从此开始引起数学家的注意。
1955年，日本青年数学家谷山丰（1927 - 1958）与志村五郎（1930 - ）将“模形式”与“椭圆方程”两个看似毫无关联的领域突发奇想地联系起来，提出了“谷山 - 志村猜想”。按照这个猜想，模形式的M-序列与椭圆方程的E-序列完全对应。换言之，二者成为“镜像”！这意味着所有椭圆方程似乎都可以模形式化！遗憾的是，谷山留下一张字条“直到昨天，我还没有决心自杀”后便自杀了！也许他因为窥视到上帝的秘密而受到召唤！
1960年代，数学家韦尔（André Weil, 1906 - 1998）和朗兰兹（Robert Langlands, 1936 - ）相继注意到“谷山 - 志村猜想”。韦尔甚至找到了有利的证据。尽管这个猜想尚未被证明，朗兰兹相信，数学各个领域之间存在深刻的内在关联的链条，而“谷山 - 志村猜想”只是这些链条中的一条。朗兰兹开始寻找其他链条。几年以后，有一些链条逐渐浮现出来。朗兰兹敏锐地洞察到，如果这些链条能够逐一被证明，那么最终会形成一个统一的数学大厦。朗兰兹因此写信给韦尔，提出了著名的“朗兰兹纲领”。在这个纲领中，朗兰兹以其非凡的洞察力首次提出将数论、几何学、表示论相联系的设想。由于这个纲领致力于将数学各个领域之间的证明统一化，因此它又被称为数学的“大统一理论”（grand unified theory）。
虽然从1960年代以来逐渐浮现出许多链条，并似乎形成一个错综复杂的体系，遗憾的是，即使这个纲领中最强有力的“谷山 - 志村猜想”也一直没有被证明。这就使得“朗兰兹纲领”始终处于猜想阶段。
转机发生在1984年。德国数学家弗赖（Gerhard Frey, 1944 - ）在“费马猜想”与“谷山 - 志村猜想”之间建立了联系。这个大胆的猜测再次引起了数学家们对“谷山 - 志村猜想”的强烈兴趣，并由此引发了后续的一系列数学证明，因此具有非常重大的意义。弗赖使用反证法证明如下：假定费马方程xⁿ + yⁿ = zⁿ，n＞2 不成立，即存在A, B, C 使得Aⁿ + Bⁿ = Cⁿ，经过一系列推算，可得y²= x³+ (Aⁿ - Bⁿ)x²- AⁿBⁿ （弗赖方程），令 a = Aⁿ - Bⁿ, b = 0, c = -AⁿBⁿ，可得 y²= x³+ ax²+ bx + c，这正是一个椭圆方程！
假定“谷山- 志村猜想”是正确的，那么“弗赖方程”就可以模形式化。问题是，“弗赖方程”长得如此丑陋（?），以至于它被美国数学家里贝特（Kenneth Alan Ribet, 1948 - ）最终证明是不可模形式化的！因此，合理的推理是，或者谷山 - 志村猜想是错误的，或者谷山 - 志村猜想是正确的，则“弗赖方程”就不存在，因此费马方程不能有解。换言之，费马猜想是正确的。显然，破解“费马猜想”的大门就在于证明“谷山 - 志村猜想”是否正确！
正是在这个大门口，普林斯顿大学的数学家怀尔斯（Andrew Wiles, 1953 - ）对“费马猜想”发起了进攻。他费时八年最终在1994年圆满证明“费马猜想”成立。怀尔斯采用“数学归纳法”作为证明的基础。他借助伽罗瓦“群论”，证明M - 1= E - 1（这是多米诺骨牌的第一块）；假设M – k = E - k 成立，借助科 - 弗 - 金方法，证明M - (k+1) = E - (k + 1)成立（即证明每一张倒下的多米诺骨牌都可以推倒下一张骨牌），由此证明了“谷山 - 志村猜想”的一个特例（半稳定椭圆曲线）。这个证明虽然尚不足以证明“谷山 - 志村猜想”，但却足以证明他梦寐以求的“费马猜想”。
虽然对公众而言，“费马大定理”的证明造成了非常轰动的效果，但对于数学家们来说，证明“费马大定理”的真正价值在于它部分地证明了“谷山 - 志村猜想”，而这个证明正属于“朗兰兹纲领”中将代数几何应用于数论这个框架下的成果。这就为“朗兰兹纲领”注入了活力。1996年，怀尔斯与朗兰兹分享了沃尔夫数学奖。1999年，法国数学家布勒伊（Christophe Breuil）、英国数学家泰勒（Richard Taylor）、美国数学家康莱德（Brian Conrad）和戴蒙德（Fred Diamond），在怀尔斯的基础上，完成了“谷山 - 志村猜想”的最后证明。
虽然希尔伯特对整个数学统一公理化的企图是不可能的，但发现数学内在的相互联系现在看起来是非常可能的。随着“朗兰兹纲领”迈出的第一步，数学界正在走向“统一化”的新方向：他们正在忙着打通数学大厦内的各个房间，或者说在数学孤岛之间建立栈桥。数学史上从未有过一项纲领像“朗兰兹纲领”那样吸引过那么多一流的数学家，获得过那么多重要的成就，而且更为重要的是，“朗兰兹纲领”本身的深度和广度一直在生长。2018年，德国年轻的数学家舒尔茨获得了“菲尔兹奖”，以表彰他在“朗兰兹纲领”范畴内以及将该纲领拓展到“三维双曲空间”方面所取得的成就。同年，朗兰兹获得数学界的诺贝尔奖“阿贝尔奖”，以表彰他对数学之间的紧密联系所作出的伟大预见。令我自豪的是，朗兰兹是曾经住的离我最近的大数学家，而且他在普林斯顿大学高等研究院的办公室正是爱因斯坦一直使用的。
滑稽的是，虽然希尔伯特的理想没有实现，但希尔伯特在1900年提出的著名的23个数学基本问题中有些问题直接导致了“朗兰兹纲领”，这就是第9和第12个问题。
更为有意思的是，正如数学家们正在努力统一数学一样，物理学家们也一直在努力统一物理学，即将电磁、强核、弱核、引力这四大相互作用用相同的数学形式表达出来。来自俄国的美国数学家弗兰克（Edward Frenkel, 1968 - ）的研究不仅与“朗兰兹纲领”有关，而且还与量子物理学有关。
现在，发现“相互联系”已经成为数学以及科学最重要的研究方向。也许我们不能“证明”我们的世界是统一的，但我们似乎越来越“发现”这个世界是统一的。这个世界或整个宇宙真的是“一个”密切相关的网络吗（a tight web of connections）？哥德尔说了，人类永远也不会等到“拭目以待”这一天！
2018年8月11日丁文父
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