从“数学危机”中得到的启发

从“数学危机”中得到的启发

丁文父 

毕达哥拉斯（Pythagoras, 570―495 BC）被他的学生问到如何表达“正方形对角线的长度”时一定极为惊恐不安，因为他主张“一切皆数”，而正方形的对角线，按照他所证明的毕达哥拉斯定理是无法表示为任何“数”的，因为那时只有整数或整数比即分数的概念。后来，欧几里得采用反证法非常简洁严密地证明，正方形对角线的长度根本无法表示为两个整数的比。

对角线的长度到底是一个“数”吗？如果它是一个数，它是多大的数呢？这在古希腊时期是一个大问题，因为阿基米德的圆周率π也同样是不能表达为整数或分数的，后来发现这样的数有很多。这就在古希腊时期造成了数学史上的第一次危机，因为它彻底动摇了作为几何学基础的“数”的概念。

当时的数学家们只好把√2或π都“视为”数，后来被称为“无理数”，并采用“比例论”重新定义分数以接纳这些“无理数”，从而暂时地解决这类问题。由于有了无理数，人类才把对数的理解从整数和分数即有理数拓展到无理数，从而产生了实数的概念，也就完善地表达了数轴上所有的数。尽管如此，无理数在当时仅获得了几何学上的解释，它可以使几何学接受无理数，但无理数在代数学上的含义始终没有获得解释，因此也就始终影响着代数学的发展。这就是为什么在文明史的大部分时期，几何学一直占有主导地位。

到公元17世纪，牛顿（Newton, 1643―1727）和莱布尼兹（Leibniz, 1646―1716）创立了微积分。微积分的基础概念是“无穷小”。例如，牛顿在计算瞬时速度时就使用了“无穷小”的时间增量△t，莱布尼兹在计算曲面面积时也使用了“无穷小”的面积增量△s，但对于这个“无穷小”量，二人都没有搞清它到底是个什么数。

以英国大主教贝克莱（George Berkeley, 1685―1753）为代表的一大批数学家对牛顿的“无穷小”概念表达了强烈的质疑。贝克莱针对牛顿从△d/△t=gt°+(g△t)/2推导出瞬时速度公式△d/△t=gt°诘责道：如果时间增量△t=0，则公式左侧没有意义；如果△t≠0，则公式右侧(g△t)/2就不能忽略不计。因此贝克莱把“无穷小”称为“消逝量的幽灵”。此外，虽然微积分作为计算工具获得了许多正确的结果，但也得出许多荒谬的结论。例如对于无穷序列S=1-1+1-1+......，则有S=(1-1)+(1-1)+......=0及S=1+(-1+1)+(-1+1)+......=1两个结果。难怪有人称微积分是“荒谬的累积”！这就造成了数学史上的第二次危机。

后来，法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy, 1789―1857）用“变量的逼近值”定义“极限”，又利用“极限”将“无穷小”定义为以0为极限的变量lim An=0, n→0。通过极限理论，消除了历史上有关“极限”和“无穷小”的悖论。由于“无理数”在本质上是一个与“有穷与无穷”、“离散与连续”相关的问题，现在数学家们既然对“极限”和“无穷小”等概念有了透彻的理解和定义，因此也就加深了对“无理数”的理解。在这一基础上，德国数学家戴德金（Richard Dekekind, 1831―1916）和康托尔（Georg Cantor, 1845―1918）等又通过集合概念最终揭示了“无理数”的实质。最后，意大利数学家皮亚诺（Giuseppe Peano, 1858―1932）从基本概念和简单的自然数公理出发，建立了“皮亚诺自然数公理系统”，使得从自然数、整数、有理数、到无理数这一完整的实数系列有了坚实的基础，从此彻底解决了数学史上的第一次和第二次危机。

如果说第一次数学危机涉及的是几何学，第二次涉及的是微积分，那么第三次涉及的则是集合论。到19世纪晚期，随着康托尔开创的集合论，一座数学大厦终于建成了，它从底到上依次为集合论、自然数理论、有理数理论、实数理论、复数理论、几何学、函数理论及分析数学。在1900年的国际数学大会上，数学家庞加莱（Henri Poincaré, 1854―1912）自豪地宣称：“借助集合论，我们可以建造整个数学大厦，……而且我们可以说，完全的严格性已经达到了。”

不幸的是，仅仅两年以后，逻辑主义（主张数学即逻辑）的代表人物罗素（Bertrand Russell, 1872--1970）提出了著名的“罗素悖论”。数学家曾经朴素地认为，给定一个性质P，满足该性质的所有集合都可以组成一个集合S。它可以用符号表示为 ∃Sᗄx(x∈S↔P(x))。罗素研究了这个集合后发现，如果定义由所有不包含集合自身的集合构成的集合R，则无论R是否包含自身，按照R的定义，都导致矛盾，即设R=(x〡x∉x)，则R∈R↔R∉R。

这个悖论可以用一个有意思的理发师故事来解释。在一个村子里有一位理发师，这位理发师声称：“我给而且只给那些不给自己理发的人理发”。现在问：理发师是否要给自己理发？如果理发师不给自己理发，那么他属于“不给自己理发的人”，理发师要给自己理发；如果理发师给自己理发，那么他就不属于“不给自己理发的人”，因此理发师就不能给自己理发。那么，理发师到底给不给自己理发呢？这就是“罗素悖论”。这个悖论证明集合论内部会产生自相矛盾的情形，这就动摇了整个数学的基础，造成数学史上的第三次危机。

面对悖论，可以选择的方式有两种：抛弃集合论，寻求新的数学基础；改进集合论，避免悖论。大多数数学家选择了后者。数学家研究后发现，造成“罗素悖论”的原因是这些命题都有“自指”的特征，即一个命题包含了命题自身。例如“这个命题是八个字”与“这个命题不是八个字”都是真命题，这就违反了形式逻辑三原则中的矛盾律。有鉴于此，罗素提出了“类型论”，将导致悖论的集合∃Sᗄx(x∈S↔P(x))限制为∃Sᗄx(x∈S↔P(x)∧Set(x))；德国数学家策梅洛（Ernst Zermelo, 1871―1953）更进一步提出“公理化集合论”，通过将以自指形式构造的集合排除在外来避免“罗素悖论”。

尽管如此，公理化集合论系统内的相容性并未得到证明。换言之，虽然已知的“自指悖论”都被排除在外，但系统内是否还有其他悖论尚不可知。庞加莱对此评论说：“为了防止狼，羊群已经用篱笆围起来了，却不知道篱笆内是否有狼。”

篱笆内没有再发现狼。第三次数学危机似乎化险为夷了，数学家们又恢复了往日的信心。一直觊觎于数学形式化并且是形式主义（诉诸于形式化）代表人物的大数学家希尔伯特（David Hilbert, 1862―1943）于1930年正式推出了他的“统一数学计划”。这个计划最终要证明整个数学体系可以满足三个基本要求：第一，数学是完备的，即任何数学真命题都可以得到证明；第二，这些证明都是相容的（一致的，无矛盾的）；第三，存在一种证明方法来确定每个形式化的命题是真命题还是假命题。如果希尔伯特的计划得以实现，那么整个数学就可以统一在一个完备且相容的逻辑基础之上，也就是说，从少数基本的公理出发，所有数学问题都可以得到证明或证伪而不会出现矛盾。

遗憾的是，几乎与希尔伯特正式提出他宏伟计划的同时，一位20世纪出生的数学家发出了不和谐的声音。哥德尔（Kurt Gödel, 1906―1978）声称：形式系统的相容性与完备性不可兼具。意思说，如果我们在数学系统中进行算术运算，这个系统要么是不相容的，要么有命题是真的，但是不可证的。这就是“不完备性定理”。1931年哥德尔发表的定理被广泛认为标志着希尔伯特计划的破产。

其实破产的不只是希尔伯特的计划。哥德尔“不完备性定理”一举粉碎了数学家两千年来的信念，即像数学这样严格的形式系统都不能达到一种完美的境地。无怪乎大数学家韦依（Hermann Weyl, 1885―1955）发出这样的感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的; 魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。” 悖论的阴影将永远伴随着我们。因此，从本质上来说，第三次数学危机还没有过去，我们仍然生活在第三次数学危机之中。

数学史上的三次危机实际上是人类与“无理”、“无穷”、“无证”（unprovable）的博弈。如果说前两次危机挑战的是人类根深蒂固的“可数”（commensurable，可公度）的观念，那么第三次危机挑战的则是“可证”（provable）的信念。也就是说，如果我们以纯粹理性为门槛，那么总有一些真理会被挡在门槛以外，就像当年的“无理数”被“可数”拒绝一样。如果人类通过放弃“可数”这把尺子，改用“集合”这个篮子来容纳“无理数”和“无穷小”这些真理，那么，我们可以通过放弃什么来迎接那些门槛外的真理呢？难道我们要放弃纯粹理性吗？人类似乎或者走在一条误导的道路上，或者已经走到穷途末路。

2018年8月6日丁文父