从哥德尔“不完备性定理”中得到的启发

2018-08-09 10:52
丁文父
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从哥德尔“不完备性定理”中得到的启发

丁文父

在《时代》杂志的评选中，位列“20世纪最伟大数学家”第一位的是哥德尔（Kurt Gödel, 1906 - 1978）。哥德尔对数学最重要的贡献就是“不完备性定理”。准确地说，哥德尔1931年提出的“不完备性定理”是由两条定理组成的。第一定理称，如果一个形式系统是相容的（注1），那么它就是不完备的（注2），即总有一些数学命题是数学家既不能证明又不能证否的。第二定理称，公理的相容性不能在自身的形式系统内部得以证明，即数学家不能确定他们所选择的公理系统内有没有矛盾。正是由于这种不确定性，哥德尔“不完备性定理”最初发表时被称为“不可判定性定理” （注3）。

哥德尔“不可判定性定理”的数学证明是异常复杂的，同时也是极为智慧的。我们通常定义公理命题的真值为真，而其他命题：真值为真，当且仅当该命题可证；真值为假，当且仅当该命题的否命题可证。在这种定义下，命题A↔~A便形成悖论（注4）。哥德尔注意到，这种悖论源自命题中所包含的“自指”特征。如果把“自身否定”转为“自身不可证”，就可以构造一个含义为“不可证”的真命题以取代含义为“否定”的命题，而这个命题的含义正是它自身的不可证明性，这就可以避免上述悖论。哥德尔非常天才地把这个命题构造为“这个命题是不可证的”（注5）。简要的逻辑证明过程可以用文字描述如下：

如果“这个命题是不可证的”是真的，则“这个命题是不可证的”且真值为真，因此存在真但又不可证明的命题；

如果“这个命题是不可证的”是假的，则“这个命题是可证的”与前提形成矛盾，因此这个系统是不相容的，为避免矛盾，“这个命题是不可证的”只能是真的；

如果系统是相容的，则“这个命题是不可证的”只能是真的，如果能够证明系统是相容的，就相当于在系统内部“这个命题是不可证的”是可证的，但二者形成矛盾，因此不能证明系统是相容的。

哥德尔所用的“系统”指包含“自然数系”的形式系统。由于一般的形式系统都包含“自然数系”，因此它具有普适性。然而，尽管哥德尔证明了某些不可证命题的存在，但并没有说明哪些命题是不可证的。好在仍有大量命题可以证明，而且“不可判定性定理”也并没有使以往任何证明失效，因此，在数理逻辑学家们就“可证”或“不可证”非常深奥的争论取得一致以前，数学家们可以采取鸵鸟政策继续他们所能进行的数学证明。但是，到了1963年，哥德尔理论上的噩梦竟然变成了不可回避的现实。

美国斯坦福大学年轻的数学家柯恩（Paul Cohen, 1934 - 2007）发展了一种检验给定问题是否可判定的方法。利用被称为“力迫”的方法，柯恩证明希尔伯特（David Hilbert, 1862 - 1943）1990年所提出的23个数学基本问题中的第一个问题“连续统假设”是不可判定的。在此之前，康托尔（Georg Cantor, 1845 - 1918）一直致力于证明“连续统假设”，哥德尔后来证明“连续统假设”在ZFC系统下不能被证否，而柯恩则进一步证明“连续统假设”在ZFC系统下不能被证明。这就仿佛哥德尔证明了魔鬼的存在，而柯恩终于抓到了一个魔鬼。从此，数学家们可以知道有哪些问题属于魔鬼的问题，也就是不可判定的问题，而且“不可判定性定理”未必仅仅存在于天涯海角，这个魔鬼就存在于数学家每天都在证明的问题之中。

上帝不愿意放弃对人类的诱惑。数学家们虽然知道“真未必可证”的道理，但反过来，因为假必可证，“不可证”可能就意味着“真”。费马大定理就是如此。费马称：xⁿ + yⁿ = zⁿ, 当n>2时没有整数解。如果费马大定理是假的，那么就可以通过找到的一个整数解来反证，如果这样，费马大定理就是可证的。换言之，假的将与不可证不相容（假必可证）。因此，费马大定理可能属于“真未必可证”那种情形。这也就是说，证明它的那条洞穴之门并没有彻底关上，数学家们仍会受到诱惑而进到洞穴之内。但是，此时的数学家们已经不再信心满满了。

哥德尔“不可判定性定理”无论对数学家还是对哲学家的信念都是毁灭性的。罗素（Bertrand Russell, 1872 - 1970）在《记忆的写照》一书中不无忧伤地写道：“我以人们寻求宗教信仰般的方式寻求确定性。我以为在数学中比在任何别的地方更可能找到确定性，但是我发现许多数学证明充满了不可靠性。”在经历了大约二十年的苦苦寻求后，“我得到的结论是：在使数学成为无可怀疑的知识的道路上，我以经无能为力了。”悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎杰出的数学家韦依（Hermann Weyl, 1885 - 1955）发出这样的感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的; 魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。”

大概正是因为数学家们没有任何信念可以保证他们可以从幽深黑暗的洞穴中走出来，因此，世界各地大学数学系的数学家们往往有下午茶的聚会，他们在聚会中坦率地交流看法，不断校正自己的研究思路或增强自己的研究信心。无知者无畏，但现在的数学家都是有知者。每个数学家在着手一项证明前都要仔细掂量揣摩他们进入的洞穴是不是一条不归路。这种算计很可能可以解释，为什么从上个世纪50年代以来，我们很少再像50年代以前那样见到大数学家了。像证明费马大定理的怀尔斯（Andrew Wiles, 1953 - ）和研究孪生素数猜想的张益唐（1955 - ）那样的数学家已经成为数学家中极少数的另类。正像大数学家高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855）所做的，谁愿意解一道无解的题呢？！数学界大概是最讲究“成者为王，败者为寇”的地方了。

哥德尔“不可判定性定理”清楚地向我们表明，“真”与“可证”是两个概念。可证的一定是真的或者是假的，但真的未必都是可证的。换言之，真理的范畴大于“可证”的范畴。这就意味着，即使像数学这样严格的形式系统都不能达到一种完美的境地，而人类仅仅通过“可证”这种理性的理解力，将永远不能理解整个宇宙。理性的世界不完备，完备的世界不理性。

数学中的魔鬼似乎在物理学中也有孪生兄弟。哥德尔 “不可判定性定理”涉及任何形式系统，因此不仅数学而且物理学也不能逃脱魔爪。德国物理学家海森堡（Werner Heisenberg, 1901 - 1976）1927年提出了著名的“不确定性原理”（注6）。正如数学家能证明的定理有一个基本的限度一样，物理学家能测定的性质也有一个基本的限度。量子物理学的实验证明，光量子可以影响物体的运动，因此物体运动的动量和位置不能同时被准确测定。这就使得哥德尔的“不可判定性定理”与海森堡的“不确定性原理”对应起来。

从数学到物理学中的这种悲观情绪似乎也在考验物理学家最后的理性。2003年，大概是50年代以后最重要的物理学家霍金（Stephen William Hawking, 1942 – 2018），在“哥德尔与物理学的终结”的演讲中说：我曾经相信“终极理论”（ultimate theory），但现在我不再相信了！2018年6月15日在伦敦西敏寺大教堂举行霍金的葬礼上，管风琴一直演奏着德国音乐大师瓦格纳（Richard Wagner, 1813 - 1883）最后一部歌剧中最后的一幕《帕西法尔∙圣星期五》。大教堂中可能很少有人明白选择“最后的最后”的寓意，但如果你了解剧情，又了解霍金那种悲悯的情怀，也许你不难提出这样的疑问：人类能否像受伤的国王那样可以等到“圣杯”来治愈理性受到伤害的伤口？滑稽的是，送来“圣杯”的不是任何智者，而是“纯洁的愚者”帕西法尔！